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哲学与逻辑可以独立，哲学也可以带有启发性，而这种启发性可以通过归纳法得到。因此，尽管哲学可以从逻辑推理中受益，但哲学的本质不是逻辑。没有逻辑就没有数学，故数学的本质是逻辑。
现代数学通过符号、规则、构思与逻辑把如下主体结构表述出来，即表示论与分类。表示与分类是由于认识推理的需要。没有表示与分类就没有认识论的颠峰哥德尔不完备定理。事实上哥德尔不完备定理的假设条件是非常少的，只依赖于实数系的表示与分类以及1+1=2这样一个基本的运算法则。哥德尔定理表明任何体系都具有不完备性。
创世、演化、表示与分类是认识系统和现实世界比较一致的地方。创世效率带有超对称色彩，因为超对称通俗而直白的说是用简单的对称性来探测无知世界。
纯数学的四大领域是代数、几何、分析与拓扑。布尔巴基学派认为数学的基础结构是代数结构、序结构和拓扑结构，代数结构表达了运算法则，序结构表达了大小关系，拓扑结构则表达了形势判断。从这个意义上而言，几何分析代表了数学的本能，代数拓扑则代表了数学的基础。
从素数大定理到黎曼猜想、从毕达哥拉斯定理即勾股定理到费马大定理，从一元二次方程、五次以上多项式方程无根式解到代数基本定理都是代数中的著名结果。一元二次方程、毕达哥拉斯定理显得直观好用，其他的结果与抽象化、形式化的现代数学一样都显得只象思想性和启示性的东西。费马大定理和从五次以上多项式方程无根式解到代数基本定理都表达了扩域的价值与意义：容易实现均衡态。数学结果的一般化或者通用化似乎也是扩域的体现。比如从布劳威尔不动点定理到角谷静夫集值不动点定理成为均衡经济学的数学支柱。
抽象代数的主要方面就是关系和均衡态。研究连续变换下不变属性的拓扑学是从多面体的欧拉公式和七桥一笔画问题开端的，主要